8. Вычислите косинус угла между векторами рид, если р (3;4), 可 (15;8).

8. Дано: \(\overrightarrow{p}\) (3;4), \(\overrightarrow{q}\) (15;8)

Найти: косинус угла между векторами \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\).

Решение:

Косинус угла между векторами находится по формуле cos(α) = \(\frac{\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}| \cdot |\overrightarrow{q}|}\)

Вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\): \(\overrightarrow{p}\) \(\cdot\) \(\overrightarrow{q}\) = 3 \(\cdot\) 15 + 4 \(\cdot\) 8 = 45 + 32 = 77

Вычислим длины векторов \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\):

|\(\overrightarrow{p}\)| = \(\sqrt{3^2 + 4^2}\) = \(\sqrt{9 + 16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5

|\(\overrightarrow{q}\)| = \(\sqrt{15^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{225 + 64}\) = \(\sqrt{289}\) = 17

Вычислим косинус угла между векторами:

cos(α) = \(\frac{77}{5 \cdot 17}\) = \(\frac{77}{85}\)

Ответ: \(\frac{77}{85}\)