Выполните действия: а) (3x + y²) (3x−y²); б) (a³ – 6a)²; в) (a−x)² (x+a)².

Решение:

Будем применять формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов:\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]
• Квадрат разности:\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
• Квадрат суммы:\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Применим эти формулы:

• а) (3x + y²) (3x−y²)

Это разность квадратов, где $$a = 3x$$ и $$b = y^2$$.

• \[ (3x + y^2)(3x - y^2) = (3x)^2 - (y^2)^2 = 9x^2 - y^4 \]

• б) (a³ – 6a)²

Это квадрат разности, где $$a = a^3$$ и $$b = 6a$$.

• \[ (a^3 - 6a)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(6a) + (6a)^2 \]
• \[ = a^6 - 12a^4 + 36a^2 \]

• в) (a−x)² (x+a)²

Сначала поменяем порядок множителей во втором выражении: $$(a+x)^2$$. Теперь у нас есть произведение квадратов:

• \[ (a-x)^2 (a+x)^2 = [(a-x)(a+x)]^2 \]

Используем формулу разности квадратов внутри скобок:

• \[ [(a-x)(a+x)]^2 = (a^2 - x^2)^2 \]

Теперь раскроем квадрат суммы:

• \[ (a^2 - x^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(x^2) + (x^2)^2 \]
• \[ = a^4 - 2a^2x^2 + x^4 \]

Ответ:

• а) $$9x^2 - y^4$$
• б) $$a^6 - 12a^4 + 36a^2$$
• в) $$a^4 - 2a^2x^2 + x^4$$