Высокий / Творческий («отлично»). Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 12, 15 и 18 даёт в остатке 0 (то есть делится на них без остатка). А какое число будет давать остаток 5? Даны два числа: A = 2³ · 3² · 5 и B = 2² · 3³ · 7. Не вычисляя значения самих чисел A и B полностью, найдите их НОД и НОК в виде разложения на простые множители.

Наименьшее число, делящееся на 12, 15 и 18.

Разложим делители на простые множители: 12 = 2² · 3, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 3². Для НОК берём каждый простой множитель в наибольшей встречающейся степени: НОК(12, 15, 18) = 2² · 3² · 5 = 180.

Число, которое на 5 больше, при делении на каждый из этих делителей оставляет остаток 5, поскольку 180 делится на все три числа.

Ответ: 180; остаток 5 будут давать числа вида 180k + 5, где k — целое неотрицательное число. Наименьшее такое натуральное число — 185.

НОД и НОК чисел A и B.

Сравним показатели общих простых множителей в A = 2³ · 3² · 5 и B = 2² · 3³ · 7. Для НОД берём общие множители в меньших степенях: НОД(A, B) = 2² · 3².

Для НОК берём множители 2, 3, 5 и 7 в наибольших степенях: НОК(A, B) = 2³ · 3³ · 5 · 7.

Ответ: НОД(A, B) = 2² · 3²; НОК(A, B) = 2³ · 3³ · 5 · 7.