12. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки 25 см и 144 см. Найдите наименьший катет треугольника.

1. Пусть АН = 25 см, НС = 144 см. Тогда гипотенуза АС = АН + НС = 25 + 144 = 169 см.

2. Катет АВ является средним пропорциональным между гипотенузой и прилежащим к нему отрезком гипотенузы:

$$AB^2 = AH \cdot AC$$

3. Найдем АВ:

$$AB = \sqrt{AH \cdot AC} = \sqrt{25 \cdot 169} = 5 \cdot 13 = 65 \text{ см}$$

4. Катет ВС является средним пропорциональным между гипотенузой и прилежащим к нему отрезком гипотенузы:

$$BC^2 = HC \cdot AC$$

5. Найдем ВС:

$$BC = \sqrt{HC \cdot AC} = \sqrt{144 \cdot 169} = 12 \cdot 13 = 156 \text{ см}$$

6. Наименьший катет АВ = 65 см.

Ответ: 65 см