45. Высота ВН ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки АН=54 и HD-36. Найдите площадь ромба.

Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой она проведена. В данном случае, высота ромба $$BH$$ делит сторону $$AD$$ на отрезки $$AH=54$$ и $$HD=36$$. Тогда сторона ромба $$AD = AH + HD = 54 + 36 = 90$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем $$AB = AD = 90$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$, откуда $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 90^2 - 54^2 = (90-54)(90+54) = 36 \cdot 144$$. Значит, $$BH = \sqrt{36 \cdot 144} = 6 \cdot 12 = 72$$.

Площадь ромба $$S = AD \cdot BH = 90 \cdot 72 = 6480$$.

Ответ: 6480