31. Высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам а = DA, b = DB, C = DC вектор МК. 1 1 1 → → → → → → → → → → 1. --b-- 2.--b-- 3. -+ 4.+-

В правильном тетраэдре высоты, проведенные из вершин, пересекаются в одной точке, которая является центром тетраэдра. Точка K является точкой пересечения высот AM и DN. Точка M – середина ребра BC, точка N – середина ребра AC. Разложение вектора MK по векторам DA, DB, DC: 1) Выразим вектор AK через векторы DA, DB, DC. Так как K - точка пересечения высот, AK = (1/4)(DA + DB + DC). 2) Найдем вектор AM. M - середина BC, AM = (1/2)(AB + AC). AB = DB - DA; AC = DC - DA. Следовательно, AM = (1/2)(DB - DA + DC - DA) = (1/2)(DB + DC - 2DA). 3) MK = AK - AM = (1/4)(DA + DB + DC) - (1/2)(DB + DC - 2DA) = (1/4)DA + (1/4)DB + (1/4)DC - (1/2)DB - (1/2)DC + DA = (1/4 + 1)DA + (1/4 - 1/2)DB + (1/4 - 1/2)DC = (5/4)DA - (1/4)DB - (1/4)DC. Таким образом, вектор MK = (5/4)a - (1/4)b - (1/4)c. Ни один из предложенных вариантов не совпадает с полученным результатом. Возможно, в задании или вариантах ответа допущена опечатка.