4.90. 1 < 3x² − 7x + 8 x² + 1 < 2.

Решим двойное неравенство $$1 < \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2$$

Представим в виде системы двух неравенств:

$$\begin{cases} \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} > 1 \\ \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2 \end{cases}$$

Решим первое неравенство: $$\frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} > 1$$

$$\frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} - 1 > 0$$

$$\frac{3x^2 - 7x + 8 - x^2 - 1}{x^2 + 1} > 0$$

$$\frac{2x^2 - 7x + 7}{x^2 + 1} > 0$$

Так как $$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$, то$$2x^2 - 7x + 7 > 0$$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$2x^2 - 7x + 7$$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 49 - 56 = -7$$

Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, то квадратный трехчлен $$2x^2 - 7x + 7$$ всегда положителен.

Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.

Решим второе неравенство: $$\frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2$$

$$\frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} - 2 < 0$$

$$\frac{3x^2 - 7x + 8 - 2x^2 - 2}{x^2 + 1} < 0$$

$$\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 + 1} < 0$$

Так как $$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$, то$$x^2 - 7x + 6 < 0$$

$$(x - 1)(x - 6) < 0$$

Решим методом интервалов:

    +    -    +
----(1)---(6)---->

$$x \in (1; 6)$$

Пересечением решений является интервал (1;6)

Ответ: $$x \in (1; 6)$$