; 6) y = √x. e2x.

6) Найти производную функции:

$$y = \sqrt[3]{x} \cdot e^{2x} = x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{2x}$$

Используем правило дифференцирования произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$

$$u = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow u' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$$

$$v = e^{2x} \Rightarrow v' = 2e^{2x}$$

$$y' = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} e^{2x} + x^{\frac{1}{3}} 2 e^{2x} = \frac{e^{2x}}{3 \sqrt[3]{x^2}} + 2 \sqrt[3]{x} e^{2x} = e^{2x} \left(\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} + 2 \sqrt[3]{x}\right) = e^{2x} \left(\frac{1 + 6x}{3 \sqrt[3]{x^2}}\right)$$

Ответ: $$e^{2x} \left(\frac{1 + 6x}{3 \sqrt[3]{x^2}}\right)$$.