Задача 5. [1 балл) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 17:8, а другой катет равен 30. Найдите периметр треугольника.

Пусть гипотенуза c, катеты a и b.

Дано:

• $$\frac{c}{a} = \frac{17}{8}$$
• $$b = 30$$

Тогда $$a = \frac{8c}{17}$$

По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$

$$(\frac{8c}{17})^2 + 30^2 = c^2$$

$$\frac{64c^2}{289} + 900 = c^2$$

$$900 = c^2 - \frac{64c^2}{289}$$

$$900 = \frac{289c^2 - 64c^2}{289}$$

$$900 = \frac{225c^2}{289}$$

$$c^2 = \frac{900 \cdot 289}{225}$$

$$c^2 = 4 \cdot 289$$

$$c = \sqrt{4 \cdot 289} = 2 \cdot 17 = 34$$

Тогда $$a = \frac{8 \cdot 34}{17} = 8 \cdot 2 = 16$$

Периметр: $$P = a + b + c = 16 + 30 + 34 = 80$$

Ответ: 80