Задача 2.1. (7 баллов) В турнире по теннису (каждый играет со всеми участниками по одной партии) участвовали 10 игроков. В каждом матче судьей был один из других участников. а) Могло ли оказаться, что все участники судили одинаковое число матчей? б) Изменится ли ответ в задаче, если в турнире примет участие 9 игроков? Все ответы требуется обосновать (если ответ «да» приведите пример подходящего расписания, если ответ «нет» объясните почему).

a) В турнире по теннису участвуют 10 игроков. Каждый играет с каждым по одному разу. Количество матчей равно числу сочетаний из 10 по 2: $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$.

Пусть каждый участник судил одинаковое число матчей. Обозначим это число за x. Тогда общее количество судейств равно 10x.

Каждый матч обслуживает один судья. Поэтому количество судейств должно равняться количеству матчей, то есть 10x = 45.

Но 45 не делится на 10, следовательно, не может быть, чтобы каждый участник судил одинаковое число матчей.

б) В турнире участвуют 9 игроков. Количество матчей равно числу сочетаний из 9 по 2: $$C_9^2 = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$.

Пусть каждый участник судил одинаковое число матчей. Обозначим это число за y. Тогда общее количество судейств равно 9y.

Каждый матч обслуживает один судья. Поэтому количество судейств должно равняться количеству матчей, то есть 9y = 36.

36 делится на 9: 36 / 9 = 4. Следовательно, каждый участник мог судить по 4 матча.

Пример расписания:

Пусть участники пронумерованы от 1 до 9. Участник i судит матчи между участниками (i+1, i+2), (i+3, i+4), (i+5, i+6), (i+7, i+8), где номера берутся по модулю 9.

Ответ: a) Нет, не могло. b) Да, изменится. Пример расписания приведен выше.