Задача 2.4. (7 баллов) Винни-Пух и Кролик вышли одновременно из своих домиков и направились навстречу друг другу по прямой дороге. Обычно они ходят с одинаковыми скоростями, но в этот раз Винни- Пух половину времени до встречи сочинял свои «шумелки-сопелки» и шел вдвое медленнее. Да и Кролик половину пути до места встречи думал «о положении земной оси» и тоже шел вдвое медленнее. После чего каждый из них, покончив с любимым делом, шел как обычно. Когда они встретились, оказалось, что один из них прошел на 80 метров больше, чем другой. Кто из них прошел большее расстояние, и как далеко их дома находятся друг от друга?

Пусть v - обычная скорость Винни-Пуха и Кролика, t - время до встречи, S - расстояние между домами.

Винни-Пух половину времени t/2 шёл со скоростью v/2, а вторую половину времени t/2 - со скоростью v.

Кролик половину пути S/2 шёл со скоростью v/2, а вторую половину пути S/2 - со скоростью v.

Расстояние, которое прошёл Винни-Пух: $$S_{ВП} = \frac{v}{2} \cdot \frac{t}{2} + v \cdot \frac{t}{2} = \frac{vt}{4} + \frac{vt}{2} = \frac{3vt}{4}$$.

Расстояние, которое прошёл Кролик: $$S_{К} = \frac{S}{2}$$.

Время, которое Кролик шёл половину пути со скоростью v/2: $$t_1 = \frac{S/2}{v/2} = \frac{S}{v}$$.

Время, которое Кролик шёл вторую половину пути со скоростью v: $$t_2 = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$$.

Общее время в пути Кролика: $$t = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{2v} = \frac{3S}{2v}$$. Отсюда $$S = \frac{2vt}{3}$$.

Тогда расстояние, пройденное Кроликом: $$S_{К} = \frac{S}{2} = \frac{vt}{3}$$.

Разница между расстояниями: $$S_{ВП} - S_{К} = \frac{3vt}{4} - \frac{vt}{3} = \frac{9vt - 4vt}{12} = \frac{5vt}{12} = 80$$.

$$vt = \frac{80 \cdot 12}{5} = 16 \cdot 12 = 192$$.

Расстояние, которое прошёл Винни-Пух: $$S_{ВП} = \frac{3vt}{4} = \frac{3 \cdot 192}{4} = 3 \cdot 48 = 144$$.

Расстояние, которое прошёл Кролик: $$S_{К} = \frac{vt}{3} = \frac{192}{3} = 64$$.

Проверка: 144 - 64 = 80 (верно).

Общее расстояние между домами: $$S = S_{ВП} + S_{К} = 144 + 64 = 208$$.

Ответ: Винни-Пух прошёл большее расстояние (144 метра). Расстояние между домами - 208 метров.