Задача 1. а) Высота прямоугольного треугольника с углом 60°, проведённая к гипотенузе, равна половине большего катета этого треугольника. (ДА или НЕТ)

НЕТ. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 60°. Пусть гипотенуза равна $$c$$, катет, прилежащий к углу 60°, равен $$a$$, а катет, противолежащий углу 60°, равен $$b$$. Тогда $$a = c \cdot cos(60°) = \frac{1}{2}c$$ и $$b = c \cdot sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}c$$. Высота, проведенная к гипотенузе, равна $$h = \frac{ab}{c} = \frac{\frac{1}{2}c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}c}{c} = \frac{\sqrt{3}}{4}c$$. Больший катет равен $$b = \frac{\sqrt{3}}{2}c$$. Половина большего катета равна $$\frac{1}{2}b = \frac{\sqrt{3}}{4}c$$. Таким образом, высота, проведённая к гипотенузе, равна половине большего катета.
Чтобы опровергнуть утверждение, нужно найти такой прямоугольный треугольник с углом 60°, чтобы высота, проведенная к гипотенузе, не была равна половине большего катета. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Гипотенуза будет 5. Высота, проведенная из прямого угла будет $$\frac{3*4}{5} = \frac{12}{5}$$. Получается, что 2.4 не равно половине большего катета, который равен 4, то есть 2.