Задача 39: Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=6, AC=54. Найдите AK.

По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки вне окружности, квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть, \(AK^2 = AB \cdot AC\). Подставляем известные значения: \(AK^2 = 6 \cdot 54 = 324\). Тогда \(AK = \sqrt{324} = 18\). Ответ: AK = 18.