Задача 2: Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и биссектрисы прямого угла равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому острому углу.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть AL - биссектриса острого угла A, а CK - биссектриса прямого угла C. Пусть O - точка пересечения AL и CK. Нужно доказать, что точка O равноудалена от гипотенузы AB и катета AC. 1. Поскольку O лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от сторон угла A, то есть от катета AC и гипотенузы AB. Значит, расстояние от O до AC равно расстоянию от O до AB. 2. Поскольку точка O лежит на биссектрисе прямого угла C, то она равноудалена от катетов AC и BC. 3. Так как точка O лежит на пересечении биссектрис угла A и угла C, то она равноудалена от всех трех сторон треугольника ABC. Таким образом, точка пересечения биссектрис острого угла прямоугольного треугольника и биссектрисы прямого угла равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому острому углу.