Задача 5: В прямоугольном треугольнике с углом 30° медиана, проведённая к гипотенузе, равна 6. Найдите длину одного из катетов и расстояние от основания высоты, проведённой к гипотенузе, до середины гипотенузы.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 6. Значит, гипотенуза AB = 2 * 6 = 12. 1. Катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть BC = 12 / 2 = 6. 2. Пусть CH - высота, проведённая к гипотенузе. Середина гипотенузы - точка M. Надо найти HM. 3. В прямоугольном треугольнике ABC: AC = √(AB² - BC²) = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3. 4. Площадь треугольника ABC равна (AC * BC) / 2 = (6√3 * 6) / 2 = 18√3. 5. Также площадь треугольника ABC равна (AB * CH) / 2. Значит, CH = (2 * площадь) / AB = (2 * 18√3) / 12 = 3√3. 6. AM = AB / 2 = 12 / 2 = 6. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. AH = √(AC² - CH²) = √((6√3)² - (3√3)²) = √(108 - 27) = √81 = 9. 8. HM = AH - AM = 9 - 6 = 3. Ответ: Длина одного из катетов равна 6, расстояние от основания высоты до середины гипотенузы равно 3.