Задача 3: Из точки A к окружности с центром в точке O проведена касательная AB (B — точка касания). Найдите AO, если радиус окружности равен $$12\sqrt{2}$$ см, а ∠OAB = 45°.

Поскольку AB – касательная к окружности в точке B, радиус OB перпендикулярен касательной AB. Таким образом, треугольник OAB – прямоугольный с прямым углом при вершине B. Мы знаем, что OB = $$12\sqrt{2}$$ см (радиус), и ∠OAB = 45°. Нам нужно найти AO, которое является гипотенузой треугольника OAB. В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен 45°, то и второй угол равен 45° (90° - 45° = 45°), значит, треугольник OAB – равнобедренный, и OB = AB = $$12\sqrt{2}$$ см. Используем теорему Пифагора: $$AO^2 = OB^2 + AB^2$$ $$AO^2 = (12\sqrt{2})^2 + (12\sqrt{2})^2$$ $$AO^2 = 144 * 2 + 144 * 2$$ $$AO^2 = 288 + 288$$ $$AO^2 = 576$$ $$AO = \sqrt{576}$$ $$AO = 24$$ Таким образом, AO = 24 см. Ответ: 24 см