Задача 5: Вершина A квадрата ABCD является центром окружности, радиус которой равен половине диагонали квадрата. Докажите, что прямая BD является касательной к этой окружности.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда диагональ квадрата равна $$a\sqrt{2}$$. Радиус окружности равен половине диагонали, то есть $$r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Рассмотрим треугольник ABD. Это прямоугольный треугольник, так как ABCD – квадрат, и ∠BAD = 90°. Прямая BD является гипотенузой этого треугольника. Пусть точка E – середина BD. Тогда AE – медиана, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, $$AE = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Таким образом, AE равен радиусу окружности с центром в точке A. Это означает, что точка E лежит на окружности. Поскольку AE – медиана и равна половине гипотенузы BD, то AE перпендикулярна BD, то есть BD является касательной к окружности в точке E. Что и требовалось доказать.