Задача 4: К окружности с центром в точке O и радиусом 5 см из точки A проведены две касательные AB и AC (B и C — точки касания). Найдите ∠BAC, если AB = $$5\sqrt{3}$$ см.

Поскольку AB и AC – касательные к окружности, радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Таким образом, треугольники ABO и ACO – прямоугольные (∠ABO = ∠ACO = 90°). Также OB = OC = 5 см (радиус), и AB = AC = $$5\sqrt{3}$$ см. Рассмотрим треугольник ABO. Мы знаем, что OB = 5 см и AB = $$5\sqrt{3}$$ см. Нам нужно найти угол ∠BAO. Используем тангенс угла ∠BAO: $$\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Значит, ∠BAO = 30° (так как $$\tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$). Поскольку OA – биссектриса угла ∠BAC, ∠BAC = 2 * ∠BAO = 2 * 30° = 60°. Ответ: 60°