Задача 2: К окружности с центром в точке O из точки A проведены две касательные, угол между которыми равен 120°. Найдите длины отрезков касательных, если OA = 24 см.

Пусть B и C – точки касания, тогда AB и AC – касательные к окружности. Угол между касательными ∠BAC = 120°. OA – биссектриса угла ∠BAC, поэтому ∠BAO = ∠CAO = 120°/2 = 60°. Треугольники ABO и ACO – прямоугольные (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), причем ∠ABO = ∠ACO = 90°. Рассмотрим треугольник ABO. Мы знаем, что ∠BAO = 60°, ∠ABO = 90°, и OA = 24 см. Нам нужно найти длину AB. Используем тригонометрическое соотношение: $$\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB}$$ $$AB = \frac{OB}{\tan(\angle BAO)}$$ $$AB = \frac{OA}{\tan(60^{\circ})}$$ Но вместо этого можем воспользоваться определением косинуса: $$\cos(\angle BAO) = \frac{AB}{OA}$$ $$\sin(\angle AOB) = \frac{AB}{OA}$$ $$\angle AOB = 30^{\circ}$$ (так как сумма углов в треугольнике равна 180, и $$\angle ABO = 90^{\circ}, \angle BAO = 60^{\circ}$$) $$\sin(30^{\circ}) = \frac{AB}{24}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{AB}{24}$$ $$AB = 24 * \frac{1}{2}$$ $$AB = 12$$ Следовательно, длина отрезка касательной AB равна 12 см. Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, AC = AB = 12 см. Ответ: 12 см