Задача 2: Какой минимальный диаметр должен иметь стальной трос подъёмного крана, если максимальная масса поднимаемого груза 5 т? Предел прочности стальной проволоки с учётом пятикратного запаса прочности равен \( 1,1 \cdot 10^8 \) Па.

Решение: 1. **Понимание задачи:** Необходимо найти минимальный диаметр стального троса, чтобы он мог безопасно поднимать груз заданной массы. 2. **Запись данных:** - Масса груза, (m = 5 \text{ т} = 5000 \text{ кг}). - Предел прочности, \( \sigma = 1,1 \cdot 10^8 \text{ Па} \). - Ускорение свободного падения, (g = 9.8 \text{ м/с}^2). 3. **Определение силы натяжения троса:** - Сила тяжести груза, (F = m \cdot g = 5000 \cdot 9.8 = 49000 \text{ Н}). 4. **Формула напряжения:** - Напряжение \( \sigma \) в тросе определяется как: \[ \sigma = \frac{F}{A} \] где (A) - площадь поперечного сечения троса. 5. **Выражение для площади:** - Из формулы напряжения выразим площадь сечения: \[ A = \frac{F}{\sigma} = \frac{49000}{1,1 \cdot 10^8} \approx 4.45 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \] 6. **Связь площади и диаметра:** - Площадь круга (поперечного сечения троса) связана с диаметром (d) следующим образом: \[ A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4} \] 7. **Выражение для диаметра:** - Выразим диаметр из формулы площади: \[ d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 4.45 \cdot 10^{-4}}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{1.78 \cdot 10^{-3}}{3.14}} \approx \sqrt{5.67 \cdot 10^{-4}} \approx 0.0238 \text{ м} \] 8. **Перевод в миллиметры:** - Переведем метры в миллиметры: \[ d \approx 0.0238 \text{ м} = 23.8 \text{ мм} \] **Ответ:** Минимальный диаметр стального троса должен быть приблизительно 23.8 мм.