Задача 3: Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение: Эта задача на геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии (b_1 = 2.4) м (высота первого прыжка). Знаменатель прогрессии (q = \frac{1}{2}) (высота каждого следующего прыжка в два раза меньше). Нужно найти номер прыжка n, при котором высота прыжка будет меньше 5 см, то есть 0.05 м. Общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[b_n = b_1 * q^{n-1}\] Нам нужно найти n, при котором (b_n < 0.05): \[2.4 * (\frac{1}{2})^{n-1} < 0.05\] \[(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{0.05}{2.4}\] \[(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{5}{240}\] \[(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{48}\] Теперь нужно найти такое n, чтобы (2^{n-1} > 48). (2^5 = 32) и (2^6 = 64). Значит, (n - 1 = 6), откуда (n = 7). Проверим: (b_7 = 2.4 * (\frac{1}{2})^{7-1} = 2.4 * (\frac{1}{2})^6 = 2.4 * \frac{1}{64} = \frac{2.4}{64} = 0.0375) м, что равно 3.75 см, и это меньше 5 см. (b_6 = 2.4 * (\frac{1}{2})^{6-1} = 2.4 * (\frac{1}{2})^5 = 2.4 * \frac{1}{32} = \frac{2.4}{32} = 0.075) м, что равно 7.5 см, и это больше 5 см. **Ответ: 7**