Задача 4: Меньшая диагональ ромба равна его стороне. Найдите площадь ромба, если большая диагональ равна 10 см.

Решение: 1. **Свойства ромба:** Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. 2. **Рассмотрим треугольник:** Т.к. меньшая диагональ равна стороне ромба, а диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, то каждый из этих треугольников имеет гипотенузу, равную меньшей диагонали, и катет, равный половине большей диагонали (5 см). Также у каждого из этих треугольников все стороны равны (поскольку сторона ромба равна меньшей диагонали). Значит, ромб состоит из двух равносторонних треугольников, сложенных вместе. 3. **Найдем сторону ромба:** Пусть сторона ромба равна a. Тогда, по теореме Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: (a/2)² + 5² = a². Умножим все на 4: a² + 100 = 4a² => 3a² = 100 => a² = 100/3 => a = 10/√3 = (10√3)/3 см. 4. **Найдем площадь ромба:** Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * 10 см * (10√3)/3 см = (50√3)/3 ≈ 28.87 см² Другое решение: 1.Раз ромб состоит из двух равносторонних треугольников, сложенных вместе, то угол ромба = 60°. 2. Площадь ромба: S = a² * sin α. a = d / √3. S = d² / √3 * sin α. S = 100 / 2√3 ≈ 28.87 см² Ответ: Площадь ромба равна (50√3)/3 см² ≈ 28.87 см².