Задача 5: Меньшее основание прямоугольной трапеции равно a см, а острый угол - 30°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 60°.

Решение: 1. **Разберемся с углами:** Т.к. меньшая диагональ образует с основанием угол 60°, а вся трапеция прямоугольная, то угол между меньшей диагональю и большей стороной трапеции равен 90° - 60° = 30°. 2. **Рассмотрим треугольник:** Меньшая диагональ, меньшее основание и боковая сторона образуют треугольник. В этом треугольнике два угла по 60° (30° + 30° = 60°). Это значит, что треугольник равносторонний. 3. **Найдем боковую сторону:** Т.к. треугольник равносторонний, то боковая сторона равна меньшему основанию, т.е. a см. 4. **Найдем высоту трапеции:** Высота трапеции равна боковой стороне * sin (30°) = a * (1/2) = a/2. 5. **Найдем большее основание:** Т.к. угол между боковой стороной и большим основанием 30°, то разница между основаниями трапеции равна боковой стороне * cos (30°) = a * (√3/2) = (a√3)/2. 6. **Найдем большее основание:** Следовательно, большее основание равно a + (a√3)/2 = a(1 + √3/2). 7. **Найдем площадь трапеции:** Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = 1/2 * (a + a(1 + √3/2)) * (a/2) = 1/2 * (2a + a√3/2) * (a/2) = 1/2 * (4a + a√3)/2 * (a/2) = (4a² + a²√3)/8 = a²(4 + √3)/8. Ответ: Площадь трапеции равна a²(4 + √3)/8 см².