Задача 4: Можно ли в клетки квадрата 10х10 поставить некоторое количество звездочек так, чтобы в любом квадрате 2х2 было ровно две звездочки, а в любом прямоугольнике 3х1 - ровно одна звездочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звездочки.)

Предположим, что такое возможно. Рассмотрим квадрат 10х10. В нем можно выделить 81 квадрат 2х2 (считая, что верхний левый угол квадрата может быть в клетках с координатами от (1,1) до (9,9)). В каждом из этих квадратов 2х2 должно быть 2 звездочки. Однако, это не означает, что всего будет 81 * 2 звездочек, так как квадраты будут пересекаться. Теперь рассмотрим прямоугольник 3х1. Их можно разместить разными способами. Рассмотрим первые три строки квадрата 10х10. В каждой из этих строк 10 клеток. Если мы будем размещать прямоугольники 3х1 горизонтально, то в каждой строке поместится 3 прямоугольника и еще одна клетка останется лишней. Всего в этих трех строках можно разместить 30 прямоугольников 3х1. Значит, в них должно быть 30 звездочек. Попробуем расположить звездочки в шахматном порядке в каждом квадрате 2х2. Однако, с прямоугольниками 3х1 это будет сложно согласовать. Ответ: Нет, нельзя.