Пусть изначально было $$x$$ точек.
После первого «уплотнения» между каждой парой соседних точек добавляется одна точка. Значит, если было $$x$$ точек, то между ними $$x-1$$ промежутков, и добавляется $$x-1$$ точка. После первого уплотнения становится $$x + (x - 1) = 2x - 1$$ точка.
После второго уплотнения количество точек становится $$2x - 1 + (2x - 1 - 1) = 2(2x - 1) - 1 = 4x - 3$$.
После третьего уплотнения количество точек становится $$2(4x - 3) - 1 = 8x - 6 - 1 = 8x - 7$$.
Известно, что в результате получилось 113 точек. Значит, $$8x - 7 = 113$$. Решим это уравнение:
$$8x = 113 + 7$$
$$8x = 120$$
$$x = \frac{120}{8}$$
$$x = 15$$
Ответ: 15