Задача 4. На стороне QR треугольника PQR отметили точку М так, что QM : MR = 1 : 3. Через точку М провели прямую, которая параллельна стороне PR треугольника и пересекает сторону PQ в точке К. Найдите сторону PR, если МК = 12 см.

Т.к. MK || PR, то треугольники QMK и QPR подобны (по двум углам: ∠Q - общий, ∠QMK = ∠QPR как соответственные при MK || PR и секущей QP).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{QM}{QR} = \frac{MK}{PR}$$

Выразим QR:

$$QR = QM + MR$$

$$\frac{QM}{QM + MR} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$$

Подставим известные значения в пропорцию:

$$\frac{1}{4} = \frac{12}{PR}$$

Выразим PR:

$$PR = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}$$

Ответ: 48 см.