Задача 5. В трапеции PQRS с основаниями PR и QS диагонали пересекаются в точке О. QS : PR = 2 : 3, PS = 15 см. Найдите отрезки РО и OS.

Т.к. PR || QS, то треугольники POR и QOS подобны (по двум углам: ∠POR = ∠QOS как вертикальные, ∠R = ∠S как накрест лежащие при PR || QS и секущей RS).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{OS}{OP} = \frac{QS}{PR} = \frac{2}{3}$$

Пусть OS = 2x, тогда OP = 3x.

Рассмотрим треугольники POS и ROQ: PS = RQ (боковые стороны трапеции), PO = OQ (диагонали трапеции), следовательно, треугольники POS и ROQ равны (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠OSP = ∠OQR

Рассмотрим треугольники PSO и QRO: PO = OQ (диагонали трапеции), SO = OR (диагонали трапеции), ∠POS = ∠QOR (вертикальные), следовательно, треугольники PSO и QRO равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство сторон: PS = QR = 15 см.

Тогда:

$$\frac{OS}{OP} = \frac{PS}{QR} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{2x}{3x} = \frac{15}{15} = 1$$

Следовательно, данная трапеция не существует, т.к. QS и PR не могут быть параллельны при отношении 2:3, а PS и QR должны быть равны, что противоречит условию задачи.

Ответ: нет решения.