Задача 3. Прямая пересекает стороны треугольника PQR в точках М и К так, что МК ||PR, QM : PM = 3: 2. Найдите периметр треугольника QMK, если периметр треугольника PQR равен 40 см.

Т.к. MK || PR, то треугольники QMK и QPR подобны (по двум углам: ∠Q - общий, ∠QMK = ∠QPR как соответственные при MK || PR и секущей QP).

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{QMK}}{P_{QPR}} = k$$

Найдем коэффициент подобия k:

$$\frac{QM}{QP} = \frac{QM}{QM + MP} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$$

Следовательно, коэффициент подобия k = 3/5.

Найдем периметр треугольника QMK:

$$P_{QMK} = k \cdot P_{QPR} = \frac{3}{5} \cdot 40 = 24 \text{ см}$$

Ответ: 24 см.