Задача 6: Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, равна $$5\sqrt{3}$$ см, а проекция одного из катетов - 15 см.

Пусть высота, проведенная к гипотенузе, равна h = $$5\sqrt{3}$$ см, а проекция одного из катетов на гипотенузу равна $$c_a$$ = 15 см. Обозначим катет, проекция которого дана, как 'a', а второй катет 'b'. Также обозначим проекцию второго катета на гипотенузу как $$c_b$$. Мы знаем, что $$h^2 = c_a \cdot c_b$$. Отсюда $$c_b = \frac{h^2}{c_a} = \frac{(5\sqrt{3})^2}{15} = \frac{25 \cdot 3}{15} = \frac{75}{15} = 5$$ см. Тогда гипотенуза c = $$c_a + c_b = 15 + 5 = 20$$ см. Теперь можем найти катет 'a': $$a^2 = c \cdot c_a = 20 \cdot 15 = 300$$. Значит, $$a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$ см. И катет 'b': $$b^2 = c \cdot c_b = 20 \cdot 5 = 100$$. Значит, $$b = \sqrt{100} = 10$$ см. Теперь найдем углы. $$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Отсюда угол A = 60 градусов. Соответственно, второй угол B = 90 - 60 = 30 градусов. Ответ: Острые углы прямоугольного треугольника равны 30 градусов и 60 градусов.