Задача 1. Найдите все значения переменной у, при которых разность дробей \(\frac{6}{y-4}\) и \(\frac{y}{y+2}\) равна их произведению.

Для решения задачи необходимо найти значения переменной \( y \), при которых разность дробей \(\frac{6}{y-4}\) и \(\frac{y}{y+2}\) равна их произведению.

Составим уравнение:

$$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$$\frac{6(y+2) - y(y-4)}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$$\frac{6y + 12 - y^2 + 4y}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$$

Упростим числитель левой части:

$$\frac{-y^2 + 10y + 12}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$$

Перенесем все в левую часть:

$$\frac{-y^2 + 10y + 12 - 6y}{(y-4)(y+2)} = 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{-y^2 + 4y + 12}{(y-4)(y+2)} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$-y^2 + 4y + 12 = 0$$

Умножим на -1:

$$y^2 - 4y - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим знаменатель. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$(y-4)(y+2)
eq 0$$

$$y
eq 4, y
eq -2$$

Значение \( y = -2 \) не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, остается только одно значение: \( y = 6 \).

Ответ: 6