Задача 2. Решите уравнение \(\frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3}=0\).

Решим уравнение \(\frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3}=0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\( x^3 - 4x^2 - 5x = 0 \)

Вынесем x за скобки:

\( x(x^2 - 4x - 5) = 0 \)

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\( x = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4+6}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4-6}{2} = -1 \)

Проверим знаменатель:

\( x^2 - 3
eq 0 \)

\( x^2
eq 3 \)

\( x
eq \pm \sqrt{3} \)

Все корни \( x = 0, x = 5, x = -1 \) удовлетворяют условию.

Ответ: -1; 0; 5