Задача 7. Решите уравнение \(\frac{3x+7}{5x-1} + \frac{5x-1}{3x+7} = 5,2\).

Решим уравнение \(\frac{3x+7}{5x-1} + \frac{5x-1}{3x+7} = 5,2\).

Пусть \(t = \frac{3x+7}{5x-1}\). Тогда уравнение примет вид:

\(t + \frac{1}{t} = 5,2\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{t^2 + 1}{t} = 5,2\)

\(t^2 + 1 = 5,2t\)

\(t^2 - 5,2t + 1 = 0\)

Умножим на 10:

\(10t^2 - 52t + 10 = 0\)

Разделим на 2:

\(5t^2 - 26t + 5 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576\)

Корни уравнения:

\(t_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 + 24}{10} = 5\)

\(t_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = 0,2\)

Теперь решим два уравнения:

1) \(\frac{3x+7}{5x-1} = 5\)

\(3x + 7 = 25x - 5\)

\(22x = 12\)

\(x = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}\)

2) \(\frac{3x+7}{5x-1} = 0,2\)

\(3x+7 = 0,2(5x-1)\)

\(3x+7 = x - 0,2\)

\(2x = -7,2\)

\(x = -3,6\)

Проверим знаменатель:

\(5x-1
eq 0, 3x+7
eq 0\)

Значения \(x=\frac{6}{11}\) и \(x=-3,6\) удовлетворяют условию.

Ответ: -3,6; \(\frac{6}{11}\)