Задача 3. Решите уравнение \(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}\).

Решим уравнение \(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}\).

Перемножим крест-накрест:

\((1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)\)

Раскроем скобки:

\(1+2x+3x+6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2\)

Приведем подобные слагаемые:

\(1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2\)

Перенесем все в одну сторону:

\(6x^2 - 6x^2 + 5x + 13x + 1 - 5 = 0\)

\(18x - 4 = 0\)

\(18x = 4\)

\(x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\)

Проверим знаменатель:

\(1-2x
eq 0\)

\(2x
eq 1\)

\(x
eq \frac{1}{2}\)

\(1+2x
eq 0\)

\(2x
eq -1\)

\(x
eq -\frac{1}{2}\)

Значение \(x=\frac{2}{9}\) удовлетворяет условию.

Ответ: \(\frac{2}{9}\)