Задача 4: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 576. Найдите высоту призмы.

Задача 4: 1. **Находим площадь основания призмы.** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ 2. **Находим гипотенузу треугольника.** Используем теорему Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ $c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ 3. **Находим периметр основания.** Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $P = 9 + 12 + 15 = 36$ 4. **Находим площадь боковой поверхности призмы.** Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$ Отсюда находим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 576 - 2 \cdot 54 = 576 - 108 = 468$ 5. **Находим высоту призмы.** Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P \cdot h$ Отсюда находим высоту: $h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{468}{36} = 13$ **Ответ: 13**