Задача 5: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 18, AC = 42, NC = 40.

Решение: Поскольку MN параллельна AC, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle MBN\) подобны (по двум углам). Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны: \(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\) Пусть \(BN = y\), тогда \(BC = BN + NC = y + 40\). Подставим известные значения: \(\frac{y}{y + 40} = \frac{18}{42}\) Упростим дробь: \(\frac{y}{y + 40} = \frac{3}{7}\) Решим уравнение: \(7y = 3(y + 40)\) \(7y = 3y + 120\) \(4y = 120\) \(y = 30\) Значит, \(BN = 30\). Ответ: BN = 30.