Задача 47: Сторона равностороннего треугольника равна $$6\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение: В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен одной трети высоты треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Следовательно, радиус $$r$$ равен: $$r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ Подставляем значение $$a = 6\sqrt{3}$$: $$r = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3$$ Ответ: Радиус окружности равен 3.