Задача 9: Точки B, C и D делят окружность на три дуги так, что \(\cup BC : \cup CD : \cup BD = 3 : 4 : 5\). Найдите углы треугольника BCD.

Решение: 1. Пусть \(\cup BC = 3x\), \(\cup CD = 4x\), \(\cup BD = 5x\). Сумма всех дуг окружности равна 360 градусам. Тогда \(3x + 4x + 5x = 360^\circ\), откуда \(12x = 360^\circ\) и \(x = 30^\circ\). 2. Значит, \(\cup BC = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\), \(\cup CD = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\), \(\cup BD = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). 3. Угол \(\angle BDC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\). 4. Угол \(\angle DBC = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). 5. Угол \(\angle BCD = \frac{1}{2} \cup BD = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ\). Ответ: \(\angle BDC = 45^\circ\), \(\angle DBC = 60^\circ\), \(\angle BCD = 75^\circ\).