Задача 14.60. В единичном кубе ABCDA, B, C, D, найдите угол между прямыми АС и С. Д. Ответ выразите в градусах.

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ угол между прямыми AC и C₁D равен 90 градусов.

Вектор AC = (-1, 1, 0), вектор C₁D = (-1, 0, -1).

Найдем косинус угла между векторами AC и C₁D:

$$\cos \varphi = \frac{(-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

Тогда угол \(\varphi\) между AC и C₁D равен arccos(1/2) = 60 градусов.

Прямые AC и C₁D скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, надо через произвольную точку провести прямые, параллельные данным, и найти угол между ними.

AC || A₁C₁.

Вектор A₁C₁ = (-1, 1, 0)

Вектор C₁D = (-1, 0, -1)

Косинус угла между векторами A₁C₁ и C₁D равен

$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$.

Угол \(\alpha\) равен 60 градусов.

Угол между AC и C₁D равен 60 градусам.

Ответ: 60°