Задача 14.51. В тетраэдре DABC, все ребра которого равны 1, найдите косинус угла между ребром DA и плоскостью (АВС).

Для решения задачи необходимо:

1. Определить, что такое угол между прямой и плоскостью.
2. Найти проекцию прямой DA на плоскость (ABC).
3. Использовать определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость (ABC). Тогда DH - высота тетраэдра, и AH - проекция DA на плоскость (ABC). Угол между DA и плоскостью (ABC) - это угол DAH.

Высота правильного тетраэдра, все ребра которого равны 1, равна $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$. AH - радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC со стороной 1. Радиус описанной окружности равен $$\frac{a}{\sqrt{3}}$$, где a - сторона треугольника. В нашем случае AH = $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DAH. Косинус угла DAH равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе DA:

$$\cos(\angle DAH) = \frac{AH}{DA} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\cos(\angle DAH) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$