Задача 14.55. В тетраэдре DABC, все ребра которого равны 1, найдите косинус угла между гранями (DBС) и (АВС).

В правильном тетраэдре косинус угла между гранями равен 1/3.

Пусть тетраэдр DABC, все ребра которого равны 1. Найдем косинус угла между гранями (DBC) и (ABC). Пусть M - середина ребра BC. Тогда DM перпендикулярно BC, и AM перпендикулярно BC. Угол между гранями (DBC) и (ABC) равен углу DMA. В треугольнике DMA: DM = AM = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (высота правильного треугольника со стороной 1). DA = 1. Применим теорему косинусов к треугольнику DMA:

$$DA^2 = DM^2 + AM^2 - 2 \cdot DM \cdot AM \cdot \cos(\angle DMA)$$ $$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle DMA)$$ $$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle DMA)$$ $$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle DMA) = \frac{1}{2}$$ $$\cos(\angle DMA) = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$