Задача 3: В параллелограмме ABCD AE - биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найти отношение ВК: KD.

Привет, ребята! Сейчас мы решим эту задачу. **Решение:** 1. **Обозначения:** Пусть AB = 4x, BC = 9x. Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC = 9x. 2. **Свойства биссектрисы:** Поскольку AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC, следовательно, ∠EAD = ∠BEA (как накрест лежащие углы). Таким образом, ∠BAE = ∠BEA, значит, треугольник ABE - равнобедренный, и BE = AB = 4x. 3. **Отрезок EC:** EC = BC - BE = 9x - 4x = 5x. 4. **Подобие треугольников:** Рассмотрим треугольники BKE и DKA. У них ∠BKE = ∠DKA (как вертикальные). Также ∠EBK = ∠ADK (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD). Следовательно, треугольники BKE и DKA подобны по двум углам. 5. **Отношение сторон:** Из подобия треугольников BKE и DKA следует отношение: BK / KD = BE / AD. 6. **Вычисление отношения:** BK / KD = (4x) / (9x) = 4/9. **Ответ:** BK: KD = 4:9