Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 90°, а в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как 5 : 9 : 4. АВ= 3 см, КN = 9 см. Найдите: а) ВC: KM; 6) SABC: SMNK; B) PABC: PMNK.

Привет, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **Решение:** **а) BC: KM** Сначала разберемся с углами треугольника MNK. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Значит: $$5x + 9x + 4x = 180$$ $$18x = 180$$ $$x = 10$$ Тогда углы в треугольнике MNK: ∠M = 50°, ∠N = 90°, ∠K = 40°. Получается, что треугольник ABC подобен треугольнику KNM (по двум углам). Так как треугольники подобны, то отношения соответствующих сторон равны. То есть: $$\frac{BC}{KN} = \frac{AB}{KM}$$ Мы знаем, что AB = 3 см, KN = 9 см. Нужно найти BC: KM. Из прямоугольного треугольника ABC: $$BC = AB * tg(∠A) = 3 * tg(40°)$$ Из прямоугольного треугольника MNK: $$KM = KN * tg(∠N) = 9 * tg(40°)$$ Тогда отношение $$BC : KM = \frac{3 * tg(40°)}{9 * tg(40°)} = \frac{1}{3}$$ **Ответ:** BC : KM = 1:3 **б) SABC: SMNK** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $$k = \frac{1}{3}$$, поэтому отношение площадей $$S_{ABC} : S_{MNK} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$ **Ответ:** $$S_{ABC} : S_{MNK} = 1:9$$ **в) PABC: PMNK** Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия $$k = \frac{1}{3}$$, поэтому отношение периметров $$P_{ABC} : P_{MNK} = \frac{1}{3}$$ **Ответ:** $$P_{ABC} : P_{MNK} = 1:3