Задача 4: В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 2 см и 8 см, а диагональ АС равна 4 см. В каком отношении делит диагональ АС площадь трапеции?

Привет! Вот решение этой задачи. **Решение:** 1. **Обозначения:** Пусть трапеция ABCD с основаниями BC = 2 см и AD = 8 см. Диагональ AC = 4 см. Пусть точка O - точка пересечения диагоналей AC и BD. 2. **Подобие треугольников:** Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (∠BOC = ∠DOA как вертикальные, и ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). 3. **Коэффициент подобия:** Коэффициент подобия k = BC/AD = 2/8 = 1/4. 4. **Отношение площадей треугольников:** Отношение площадей подобных треугольников BOC и DOA равно квадрату коэффициента подобия: S(BOC) / S(DOA) = k^2 = (1/4)^2 = 1/16. 5. **Отношение площадей треугольников ABC и ACD:** * Треугольники ABC и ACD имеют общее основание AC. * Высоты этих треугольников, проведенные к основанию AC, относятся так же, как основания BC и AD, то есть 1:4. Следовательно, $$S_{ABC} : S_{ACD} = BC : AD = 2 : 8 = 1 : 4$$. 6. **Площадь трапеции:** $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$$. 7. **Отношение, в котором диагональ AC делит площадь трапеции:** Диагональ АС делит трапецию на два треугольника ABC и ACD, площади которых относятся как 1:4. Следовательно, диагональ делит площадь трапеции в отношении 1:4. **Ответ:** Диагональ AC делит площадь трапеции в отношении 1:4.