Задача 5: В параллелограмме ABCD сторона AD на 5 см больше стороны AB, BD=7 см, ∠C = 60°. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Так как ABCD - параллелограмм, \(\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Пусть AB = x, тогда AD = x + 5. Используем теорему косинусов для треугольника ABD: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A\). Подставляем известные значения: \(7^2 = x^2 + (x+5)^2 - 2 \cdot x \cdot (x+5) \cdot \cos 120^\circ\). Известно, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Получаем: \(49 = x^2 + x^2 + 10x + 25 + x(x+5) = 3x^2 + 15x + 25\). Упрощаем уравнение: \(3x^2 + 15x - 24 = 0\). Делим на 3: \(x^2 + 5x - 8 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 32}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{57}}{2}\). Так как x - длина стороны, берем положительное значение: \(x = \frac{-5 + \sqrt{57}}{2} \approx 1.27\). Тогда AD = x + 5 = 6.27. Площадь параллелограмма равна: \(S = AB \cdot AD \cdot \sin A = x \cdot (x+5) \cdot \sin 120^\circ = 1.27 \cdot 6.27 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6.9\). Ответ: Примерно 6.9 см².