Задача 5: В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, меньшее основание 5 см, угол A равен 30°, а высота BH делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение: 1. Обозначим большее основание трапеции как AD и меньшее как BC. Так как BH делит основание AD пополам, пусть AH = HD = x. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол A равен 30°. Значит, катет BH, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AB. Это не так! Угол A = 30 градусов. 3. Проведем высоту CK. Тогда BC = HK = 5 см, AK = AD - HK = AD - 5, AD = AH + HD = 2*AH. Получаем AK = 2*AH - 5 4. Боковая сторона AB в прямоугольном треугольнике ABH является гипотенузой, и sin A = BH/AB, т.е. BH = AB*sin A = AB * sin(30°) = AB / 2; т.е. BH = AB / 2. 5. Рассмотрим \(\triangle CKD\). \(CD = 8\), тогда \(CD = 8 см\). \(CK = BH\). \( KD = HD - HK = HD -BC \). Угол \(\angle CDK = 90\). Площадь трапеции \(S = \frac{BC+AD}{2}*BH\). Нам нужно найти AD и BH. \(\angle BAH=30°\). Тогда катет BH лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы AB. Пусть AB=y. Тогда BH = \(\frac{y}{2}\) С другой стороны : Пусть AH=z. Тогда AD=2z. Значит S = \(\frac{5+2z}{2} * \frac{y}{2} = (5+2z)*\frac{y}{4}\) Мы знаем, что CD=8 и BC = 5. Из рисунка видно, что AK+5 = 2z (Так как HK=5) . \(\frac{BH}{AH}= tg30°\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) => \(z = \sqrt{3}*BH = \sqrt{3} * \frac{y}{2}\) Тогда AK=2*AH-5 = \(2*\sqrt{3} * \frac{y}{2} - 5 = \sqrt{3}*y - 5\) В треугольнике ABH: AH = \(AB*cos30° = y*\frac{\sqrt{3}}{2}\) Тогда AD=2*AH= \(2*y*\frac{\sqrt{3}}{2} = y*\sqrt{3}\) Мы можем найти BH. Найдем HD, зная, что HD=AH = z (AH = HD) Т.к AD=2z. KD = AD -AK = z - 5 В треугольнике CDK, CD=8. Нужно найти угол KDC. Ответ: [Не удалось решить задачу до конца.]