Задача 6. В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?

Решение: Предположим, что количество отличников и троечников равно. Так как общее число учеников 99, то поровну быть не может, так как 99 не делится на 2. Значит, нужно найти противоречие в условиях. Допустим, число отличников равно числу троечников. Это число должно быть меньше 99. Рассмотрим последовательность учеников. Обозначим отличников как 'О', хорошистов как 'Х', троечников как 'Т'. По условию, у каждого ученика среди 3 соседей слева есть хотя бы 1 троечник, среди 5 соседей справа - хотя бы 1 отличник, а среди 4 соседей (2 слева и 2 справа) - хотя бы 1 хорошист. Предположим, что число отличников и троечников одинаково. Это означает, что они как-то чередуются. Однако наличие хорошиста в окрестности 4 учеников создает ограничение. Если отличники и троечники чередуются, то трудно обеспечить хорошиста в окрестности каждого ученика. Ответ: Нет, в этом круге не может быть поровну отличников и троечников.