Задача №3 (Вариант II): Отрезок AK – биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Пусть треугольник CAE, AK - биссектриса угла CAE, прямая KN || CA (K ∈ CE, N ∈ AE).

Из условия ∠CAE = 78°, значит ∠CAK = ∠KAE = 78°/2 = 39°, так как AK - биссектриса.
Так как KN || CA, то ∠CAK = ∠AKN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых CA и KN и секущей AK. Следовательно, ∠AKN = 39°.
Угол ∠KAE равен углу ∠NAK, так как это один и тот же угол, ∠NAK = 39°.

В треугольнике AKN два угла известны: ∠AKN = 39° и ∠NAK = 39°.
Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠ANK = 180° - ∠AKN - ∠NAK = 180° - 39° - 39° = 180° - 78° = 102°.

Ответ: ∠AKN = 39°, ∠NAK = 39°, ∠ANK = 102°.