Задача 1. Две стороны треугольника равны 9 см и 12 см, угол между ними — 45°. Найдите третью сторону и площадь.

По теореме косинусов для третьей стороны:

\(c^2=9^2+12^2-2\cdot9\cdot12\cos45^\circ=225-108\sqrt2\), поэтому \(c=\sqrt{225-108\sqrt2}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot9\cdot12\sin45^\circ=27\sqrt2\) см².

Ответ: \(\sqrt{225-108\sqrt2}\) см; \(27\sqrt2\) см².