Задача 1. Площадь параллелограмма равна 50 см², ∠C = 30°. Найдите площадь круга, вписанного в параллелограмм.

В невырожденный параллелограмм можно вписать окружность только тогда, когда он является ромбом. Обозначим сторону ромба через a, а радиус вписанной окружности — через r.

Площадь ромба выражается через сторону и угол: \(S=a^2\sin 30^\circ=\frac{a^2}{2}=50\). Поэтому \(a=10\) см.

Высота ромба равна \(h=a\sin 30^\circ=5\) см. Вписанная окружность касается двух параллельных сторон, поэтому расстояние между ними равно диаметру: \(2r=h\), откуда \(r=2.5\) см.

Тогда площадь круга равна \(S_{\text{кр}}=\pi r^2=\frac{25\pi}{4}\) см².

Ответ: \(\frac{25\pi}{4}\) см².