Задача 2. Найдите угол между высотой ВН и диагональю АС ромба ABCD, если ∠А = 30°.

Пусть сторона ромба равна \(a\). В прямоугольном треугольнике ABH высота \(BH\) перпендикулярна \(AD\), а \(\angle BAH=\angle A=30^\circ\). Поэтому \(BH=a\sin30^\circ=\frac a2\).

Диагональ \(AC\) ромба делит угол A пополам, значит угол между AC и AD равен \(15^\circ\). Проекция диагонали на направление, перпендикулярное AD, равна \(AC\sin15^\circ\). При этом \(AC=2a\cos15^\circ\), следовательно, эта проекция равна \(2a\sin15^\circ\cos15^\circ=a\sin30^\circ=\frac a2=BH\).

Итак, направления BH и AC образуют с AD одинаковые углы по \(15^\circ\), но по разные стороны от него. Угол между прямыми равен \(30^\circ\); угол между лучами, направленными от B к H и от A к C, равен \(150^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) (угол между прямыми BH и AC; между указанными лучами — \(150^\circ\)).